Notatki

No!
Najpierw trzeba omowic kilka innych rzeczy, zeby dojsc do pochodnej.
Zaczynamy od ciagow

Definicja: Ciag to funkcja, ktorej dziedzina jest N+
Ciag moze posiadac wyraz ogolny (tak jak wzor funkcji, cos co okresla jego powtarzalnosc), ale niekoniecznie. Najprostszy ciag:
a_n=n
To znaczy, ze n-ty element ciagu rowny jest n. Wiec: a₁=1, a₂=2 itd
Inne przyklady ciagow: a_n=2², a_n=1/n, a_n=sin n

Granica Ciagu
Wyobrazmy sobie wykres funkcji. Wyobrazmy sobie tez, ze gdziestam jest punkt bedacy granica funkcji. Mozemy na wykresie narysowac poziomy pasek, z tym punktem w srodku a wsztystkie punkty miedzy punktem bedacym brzegiem paska, a punktem bedacym granica, beda wewnatrz paska. Inaczej mowiac. Granica funkcji to taki punkt, do ktorego dazy ta funkcja w dowolnie malym fragmencie. Funkcja nie musi osiagac swojej granicy.
zapisujemy to: lim _n→∞ a_n=g
i tak np.:
lim _n→∞ 1/n = 0
lim n→∞ (2n+7)/(n-1) = 2 (bo to +7 i -1 przy duzych liczbach staje sie nieistotne, a 2n szybciej rosnie niz n, 2n/n=2)
(kwantyfikatory zapisuje jako E(istnieje) i A(dla kazdego))

Definicja granicy (taka elo elo i matematyczna): E _g€R A _ε>0 E _N€N+ A _n>N |a_n-g|<ε
Teraz przyklady z granica (licze granice kazdego):
lim _n→∞ (n²-n+1)/(n²+2n) = (1-1/n+1/n²)/(1+2/n) granica gornej czesci ulamka – 1-0-0=1, granica dolnej – 1+0=1. 1/1=1 wiec granica powyzszego =1
lim _n→∞ (10000000*n²)/(n²-n) = 0
lim _n→∞ (2ⁿ-1)/3ⁿ =

Mamy jeszcze jedna metode obliczania granicy ciagu. Jest to metoda trzech ciagow, tzn:
jesli znajdziemy dwa ciagi, jeden mniejszy od naszego a drugi wiekszy, ktore maja taka sama granice, to nasz ma rowniez te sama granice. Czyli np:
szukamy granicy sin n/n
1/n ≥ sin n/n ≥ -1/n
Granica 1/n = granica -1/n = 0, wiec granica sin n/n tez =0
lim _n→∞ 1/(2ⁿ-10) = 0
lim _n→∞ (n³ -n ¹⁰)/n⁵ = ∞

Granica funkcji w punkcie
Granica funkcji w punkcie, to ogolnie to samo co granica ciagu, tylko n(lub x, lub cokolwiekchcecie) niedazy do ∞ tylko do danego punktu. Wazne tez od ktorej strony dazy. Ale najpierw:
f(x)=x
lim _x→∞ f(x) = ∞
lim _x→2^- f(x) = 2 Dlatego jest minus przy dwojce, poniewaz do punktu 2 zblizamy sie od strony minusow. Tutaj nie ma to wiekszej roznicy, ale zaraz bedzi emialo.

f(x)= sgn(x-2) (sgn – wartosc calkowita, http://pl.wikipedia.org/wiki/Signum)
lim _x→2^- f(x) = -1 (granica lewostronna)
lim _x→2⁺ f(x) = 1 (granica prawostronna)

f(x)=1/x
lim _x→0^- f(x) = -∞
lim _x→0⁺ f(x) = ∞

f(x)=tg x
lim _x→Π/2⁺ f(x) = -∞

W tym przypadku funkcja nie osiaga granicy w punkcie do ktorego dazy.
f(x) dla x€R /{0} -x² a dla x=0 f(x)=-1
lim _x→0 f(x) = 0

Dzieki ustalaniu granicy, mozemy latwiej narysowac wykres funkcji. Np:
f(x) = -2x/(x²-4)
Wiemy, ze D_f= R-{2,-2}
lim _x→∞ f(x) = 0
lim _x→2^- f(x) = ∞
lim _x→2⁺ f(x) = -∞
w ten sposob wiemy mniej wiecej, jak wyglada funkcja. Wiemy tez, ze jest nieparzysta, wiec mozemy narysowac jej wykres. Tyle na dzisiaj, za dwa tygodnie bedzie co to asymptoty i dojedziemy w koncu do pochodnych.

This entry was posted on Saturday, May 17th, 2008 at 5:55 pm and is filed under Matematyka. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.